Ejercicio

Grupo 6

Ejercicio Nº 1

1.- Determinar la función de transferencia.

2.- Representar el sistema en un diagrama de bloque a partir de la ecuación planteadas para

conseguir la función de transferencia.

3.- Representar el sistema en el espacio de estado.

4.- Simulación de la respuesta temporal o transitoria ante la entrada escalón unitaria usando matlab.

5.- Conclusiones.

DESARROLLO

1.- Determinar la función de transferencia.

Datos: R = 150 Ω, L = 10 H, C = 4 F.

Para poder obtener la función de transferencia de un circuito, primero necesitamos el esquemático del circuito. Este será el circuito RLC.

Como las funciones de transferencia son análisis en el dominio de la frecuencia, hay que transformar los componentes a impedancias para poder manipularlos en el dominio de la frecuencia. De este modo, L se convierte en Z1, R se convierte en Z2 y C se convierte en Z3.

Como las inductancias se pueden manipular como si fuesen resistencias, podemos utilizar leyes de Kirchhoff para sacar las ecuaciones del circuito.

Por definición, la función de transferencia de un circuito es Vo/Vi, por lo que necesitamos encontrar el voltaje de salida en función de los elementos que tiene el circuito. Para esto se utiliza la ley de nodos/corrientes de Kirchhoff, pues ese análisis encuentra los voltajes de nodo. De esta manera se tiene que la corriente que pasa por Z1 y Z2 es igual a la suma de la corriente que pasa por Z3.

Para que Matlab pueda resolver correctamente esta ecuación, hay que dejarla igual a cero, por lo que tenemos que

Ahora que ya tenemos la única ecuación del circuito, ya podemos resolverla para Vo utilizando Matlab. Para esto, lo primero que se tiene que hacer es declarar las variables como variables simbólicas, para que pueda hacer el cálculo. Esto se hace de la siguiente manera:

>> syms vi vo z1 z2 z3

Ahora, lo que se tiene que hacer es almacenar en otra variable la ecuación que tenemos. Esto se hace así

>> eq1=(vi-vo)/(z1+Z2)-vo/z3;

Nótese que el ";" al final es únicamente para que no repita lo que le acabo de ingresar (echo off).

Ahora que ya tenemos la ecuación, ya podemos resolverla para Vo utilizando la función solve. Esto se hace así

>> vo=solve(eq1, vo)

La sintaxis básica de esta función es solve(ecuación igualada a cero, variable para la cual se resuelve).

Al ingresar esto a Matlab, se obtiene el siguiente resultado

vo =

(vi*z2*z3)/(z1*z2 + z1*z3 + z2*z3)

Este resultado ya es la ecuación resuelta para Vo. Sin embargo, esta aún no es la función de transferencia, pues aún falta dividirla entre Vi. Esto se hace fácilmente de esta manera

>> Hs=vo/vi

Lo que nos regresa 

Hs =

(z2*z3)/(z1*z2 + z1*z3 + z2*z3)

Ahora ya tenemos la función de transferencia en función de las impedancias, pero nosotros la queremos en función de la frecuencia y de los valores de los componentes que forman el circuito. Para esto, sabemos que la impedancia de un inductor es SC, la de un capacitor es 1/SC y la de una resistencia es R. Esta información se le tiene que introducir a Matlab también de manera simbólica y de la siguiente manera:

>> syms r l c

>> syms s

>> z1=l*s;

>> z2=1/(s*c);

>> z3=r;

Sin embargo, en la función de transferencia siguen apareciendo Z1, Z2 y Z3, mas no sus valores. Para sustituir los valores de Z1, Z2 y Z3 en la función de transferencia, hacemos lo siguiente

>> Hs=subs(Hs)

Este comando nos regresa

Hs =

r/(c*s*(l/c + r/(c*s) + l*r*s))

Ahora ya tenemos la función de transferencia. Para verla un poco más clara, podemos utilizar la función simple y pretty. Esto se hace así

>> Hs=simple(Hs);

>> pretty(Hs)

Esto nos regresa

Con esto ya tenemos nuestra función de transferencia H(s) del circuito RLC

2.- Representar el sistema en un diagrama de bloque a partir de la ecuación planteada para conseguir la función de transferencia.

Cada función de transferencia se representa en un diagrama de bloque como el operador que multiplicado por la entrada nos ofrece la salida:

En nuestro caso:

3.- Representar el sistema en el espacio de estado.

Usaremos el Matlab para obtenerlo.

Calculamos la funcion de transferencia pasandola a un cociente entre numerador y denominador, num y den:

» num=[600,0]

num =

    600.0000         0.0000

» den=[600,40,1]

den =

    600.000    40.0000    1.0000

»  [z,p,k]=tf2zp(num,den)

z =

     0

p =

  -0.0333 + 0.0236i

  -0.0333 - 0.0236i

k =

     1

4.- Simulación de la respuesta temporal o transitoria ante la entrada escalón unitaria usando matlab.

» num=[600,0]

num =

    600.0000         0.0000

» den=[600,40,1]

den =

    600.000    40.0000    1.0000

» ye = step(num,den,t);

» plot(t,ye);

Ahora se muestra la imagen obtenida a través del Matlab.

Las dos características fundamentales de un sistema de primer orden son su ganancia estática K y su constante de tiempo τ. La constante de tiempo es el tiempo que tarda en alcanzar el 63% de la salida. La ganancia estática es el cociente entre la amplitud de salida y la de entrada en el régimen permanente. Estos valores se pueden comprobar directamente en la gráfica.

5.- Conclusiones.

Con el Matlab se puede simular y resolver este tipo de circuitos RLC, de una manera fácil, confiable y rápida. Por lo tanto se recomienda su utilización. Este simulador permite representar sistemas complejos de una manera sencilla y practica.

Se realiza un boceto del circuito eléctrico y se toman los datos y a través del Matlab se calcula la función de transferencia y el resto de los cálculos..