Grupo 6
Ejercicio
Nº 1
1.- Determinar
la función de transferencia.
2.- Representar
el sistema en un diagrama de bloque a partir de la ecuación planteadas para
conseguir
la función de transferencia.
3.- Representar
el sistema en el espacio de estado.
4.- Simulación
de la respuesta temporal o transitoria ante la entrada escalón unitaria usando
matlab.
5.- Conclusiones.
DESARROLLO
1.-
Determinar la función de transferencia.
Datos: R = 150
Ω, L = 10 H, C = 4 F .
Para
poder obtener la función de transferencia de un circuito, primero necesitamos
el esquemático del circuito. Este será el circuito
RLC.
Como
las funciones de transferencia son análisis en el dominio de la frecuencia, hay
que transformar los componentes a impedancias para poder manipularlos en el
dominio de la frecuencia. De este modo, L se convierte en Z1, R se convierte en Z2 y C se convierte en Z3.
Como
las inductancias se pueden manipular como si fuesen resistencias, podemos
utilizar leyes de Kirchhoff para sacar las ecuaciones del circuito.
Por
definición, la función de transferencia de un circuito es Vo/Vi, por lo que
necesitamos encontrar el voltaje de salida en función de los elementos que
tiene el circuito. Para esto se utiliza la ley de nodos/corrientes de
Kirchhoff, pues ese análisis encuentra los voltajes de nodo. De esta manera se
tiene que la corriente que pasa por Z1
y Z2 es igual a la suma de la
corriente que pasa por Z3.
Para
que Matlab pueda resolver correctamente esta ecuación, hay que dejarla igual a
cero, por lo que tenemos que
Ahora
que ya tenemos la única ecuación del circuito, ya podemos resolverla para Vo
utilizando Matlab. Para esto, lo primero que se tiene que hacer es declarar las
variables como variables simbólicas, para que pueda hacer el cálculo. Esto se
hace de la siguiente manera:
>> syms vi
vo z1 z2 z3
Ahora,
lo que se tiene que hacer es almacenar en otra variable la ecuación que
tenemos. Esto se hace así
>> eq1=(vi-vo)/(z1+Z2)-vo/z3;
Nótese
que el ";" al final es únicamente para que no repita lo que le acabo
de ingresar (echo off).
Ahora
que ya tenemos la ecuación, ya podemos resolverla para Vo utilizando la función
solve. Esto se hace así
>> vo=solve(eq1, vo)
La
sintaxis básica de esta función es solve(ecuación
igualada a cero, variable
para la cual se resuelve).
Al
ingresar esto a Matlab, se obtiene el siguiente resultado
vo =
(vi*z2*z3)/(z1*z2
+ z1*z3 + z2*z3)
Este
resultado ya es la ecuación resuelta para Vo. Sin embargo, esta aún no es la
función de transferencia, pues aún falta dividirla entre Vi. Esto se hace
fácilmente de esta manera
>> Hs=vo/vi
Lo que nos regresa
Hs =
(z2*z3)/(z1*z2 + z1*z3 + z2*z3)
Ahora
ya tenemos la función de transferencia en función de las impedancias, pero
nosotros la queremos en función de la frecuencia y de los valores de los
componentes que forman el circuito. Para esto, sabemos que la impedancia de un
inductor es SC, la de un capacitor es 1/SC y la de una resistencia es R. Esta información
se le tiene que introducir a Matlab también de manera simbólica y de la
siguiente manera:
>>
syms r l c
>>
syms s
>>
z1=l*s;
>> z2=1/(s*c);
>> z3=r;
Sin embargo, en la función de
transferencia siguen apareciendo Z1, Z2 y Z3, mas no sus valores. Para
sustituir los valores de Z1, Z2 y Z3 en la función de transferencia, hacemos lo
siguiente
>>
Hs=subs(Hs)
Este
comando nos regresa
Hs =
r/(c*s*(l/c
+ r/(c*s) + l*r*s))
Ahora
ya tenemos la función de transferencia. Para verla un poco más clara, podemos
utilizar la función simple y pretty. Esto se hace así
>> Hs=simple(Hs);
>> pretty(Hs)
Esto nos regresa
Con
esto ya tenemos nuestra función de transferencia H(s) del circuito RLC
2.-
Representar el sistema en un diagrama de bloque a partir de la ecuación
planteada para conseguir la función de transferencia.
Cada
función de transferencia se representa en un diagrama de bloque como el
operador que multiplicado por la entrada nos ofrece la salida:
En nuestro
caso:
3.-
Representar el sistema en el espacio de estado.
Usaremos el
Matlab para obtenerlo.
Calculamos
la funcion de transferencia pasandola a un cociente entre numerador y
denominador, num y den:
» num=[600,0]
num =
600.0000 0.0000
» den=[600,40,1]
den =
600.000 40.0000 1.0000
» [z,p,k]=tf2zp(num,den)
z =
0
p =
-0.0333 + 0.0236i
-0.0333
- 0.0236i
k =
1
4.- Simulación de la respuesta temporal o transitoria ante la entrada escalón
unitaria usando matlab.
»
num=[600,0]
num
=
600.0000 0.0000
»
den=[600,40,1]
den
=
600.000 40.0000
1.0000
» ye = step(num,den,t);
» plot(t,ye);
Ahora se
muestra la imagen obtenida a través del Matlab.
Las dos
características fundamentales de un sistema de primer orden son su ganancia
estática K y su constante de tiempo τ. La constante de tiempo es el tiempo que
tarda en alcanzar el 63% de la salida. La ganancia estática es el cociente
entre la amplitud de salida y la de entrada en el régimen permanente. Estos
valores se pueden comprobar directamente en la gráfica.
5.-
Conclusiones.
Con el
Matlab se puede simular y resolver este tipo de circuitos RLC, de una manera fácil,
confiable y rápida. Por lo tanto se recomienda su utilización. Este simulador
permite representar sistemas complejos de una manera sencilla y practica.
Se realiza
un boceto del circuito eléctrico y se toman los datos y a través del Matlab se
calcula la función de transferencia y el resto de los cálculos..
